Connaître et utiliser les différentes formes des fonctions polynômes
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Connaitre les différentes formes d'une fonction polynôme.
Savoir utiliser l'une ou l'autre de ces formes pour :
- calculer des images ;
- résoudre des équations ou des inéquations ;
- déterminer l'allure, l'axe de symétrie et le sommet de la parabole ;
- déterminer les racines et factoriser ;
- calculer le discriminant.
- est la forme développée. Elle sert à vérifier qu'il s'agit bien d'une fonction polynôme.
- est la forme factorisée, avec et les racines du polynôme. Elle sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
- est la forme canonique. Elle s'écrit aussi avec et . Elle sert à étudier les variations ou trouver un extremum. est le sommet de la parabole représentative de la fonction.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur par :
.
Cette forme est appelée la forme développée de .
Attention
Parfois, certaines expressions n’ont pas
d’emblée la forme , pourtant ce sont bien des
polynômes du second degré.
Remarque : est une
fonction affine, aussi appelée fonction
polynôme du premier degré.
est une
fonction polynôme du troisième
degré.
est sa forme canonique ;
est sa forme développée ;
est sa forme factorisée.
La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :
est écrite sous forme canonique .
est également sous forme canonique .
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :
, , ,
, , .
Cas a > 0 | |
Cas a < 0 |
|
On considère la fonction définie sur .
1. Vérifier que .
Il suffit de développer la deuxième expression :
2. Factoriser .
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable
3. Résoudre .
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :
4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :
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