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Connaître et utiliser les différentes formes des fonctions polynômes

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Objectif

Connaitre les différentes formes d'une fonction polynôme.

Savoir utiliser l'une ou l'autre de ces formes pour :

calculer des images ;
résoudre des équations ou des inéquations ;
déterminer l'allure, l'axe de symétrie et le sommet de la parabole ;
déterminer les racines et factoriser ;
calculer le discriminant.

Points clés

est la forme développée. Elle sert à vérifier qu'il s'agit bien d'une fonction polynôme.
est la forme factorisée, avec et les racines du polynôme. Elle sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
est la forme canonique. Elle s'écrit aussi avec et . Elle sert à étudier les variations ou trouver un extremum. est le sommet de la parabole représentative de la fonction.

1. Différentes formes

Soit a un nombre réel non nul, b et c deux nombres réels quelconques.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur

par :

.

Cette forme est appelée la forme développée de

Exemples de polynômes du second degré :

Attention
Parfois, certaines expressions n’ont pas d’emblée la forme , pourtant ce sont bien des polynômes du second degré.

Remarque : est une fonction affine, aussi appelée fonction polynôme du premier degré.
est une fonction polynôme du troisième degré.

Par exemple,

peut aussi s’écrire

Un polynôme du second degré comme

peut s'écrire sous 3 formes différentes :

est sa forme canonique ;

est sa forme développée ;

est sa forme factorisée.

La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :

Exemple :

est écrite sous forme canonique

est également sous forme canonique

La forme développée sert à vérifier qu’il s’agit bien d’un polynôme du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.

La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum).

2. Une famille de fonctions

Exemple 1 :
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :

(a) La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

(b) On remarque que différentes valeurs de β déplacent la courbe parallèlement à l’axe des ordonnées et que différentes valeurs de α la déplacent parallèlement à l’axe des abscisses.

;

. Elle admet la droite d’équation

pour axe de symétrie.

alors

(d) Le tableau de variation de f est :

Cas a > 0
Cas a < 0

Exemple 2 :
On considère la fonction

définie sur

.

1. Vérifier que

.
Il suffit de développer la deuxième expression :

2. Factoriser

.
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable

3. Résoudre

.
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :

4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :

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