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Complément algorithmique : calcul d'aires

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L’intégrale de a à b (a < b) de la fonction f continue et positive définie sur un intervalle contenant [a ; b] est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.

Historiquement, le calcul intégral est utilisé depuis l’antiquité.
On attribue à Eudoxe de Cnide (né vers -408 et décédé vers -355, auteur supposé des livres V et XII des Éléments d'Euclide) la paternité de la « méthode d'exhaustion ». Archimède (-288 / -212) l’utilisa, entre autre pour une excellente approximation de

.

Cavalieri (1598 / 1647) approche encore davantage le calcul intégral en créant la géométrie des indivisibles, où les lignes sont considérées comme formées d'un nombre infini de points ; les surfaces d'une infinité de lignes et les solides d'une infinité de surfaces. Par cette méthode, il réussit à résoudre un grand nombre de problèmes (surfaces donc aires et des volumes).

On attribue à Newton (1642 / 1727) et surtout Leibnitz (1646 / 1716) « l’invention » du calcul infinitésimal, contenant le calcul différentiel et le calcul intégral.
Le principe repose sur le découpage en petits éléments (infinitésimaux) qui seront ajoutés (par sommation) pour donner la totalité de ce qui est recherché.
Nous allons utiliser ce principe pour calculer l’aire sous la courbe de quelques fonctions, à l’aide de petits programmes sur calculatrice (ou logiciel mathématique).

La programmation des aires
On suppose f fonction définie continue et positive sur l’intervalle étudié.

1. Méthode des rectangles

Le but du problème est de déterminer et d’encadrer lorsque c’est possible A, l'aire comprise entre C_y courbe représentative d’une fonction y = f(x), l’axe [ox) et les droites verticales d'équations x = a et x = b. C’est l’aire en grisé de la figure 1 ci-dessous, avec ici f(x) = x, a = 0, b = 1.

Une approximation peut être obtenue en découpant l’aire en rectangles de largeur

(le 'pas' choisi) et de hauteur y = f(x), cas de la figure 2.

On appelle A₁ cette aire. On prendra n = 100 ou n = 1000 (si la calculatrice est suffisamment rapide).

On peut aussi calculer l’aire des n rectangles de largeur

et de hauteur

, cas de la figure 3. On l’appelle A₂.

Cela permet (dans ce cas de figure), l'encadrement de :
A₁

Aire (recherchée)

A₂.

2. Méthode des trapèzes

C’est construire des trapèzes de largeur

, et de bases f(x) et

. C’est aussi la moyenne des deux aires précédentes A₁ et A₂.

3. Construire un programme permettant de calculer A1 et A2

Variables I un entier (compteur), N entier positif entre 10 et 1000 A, B réels (bornes inf et sup) S réel (aire rectangles inf), T réel (aire rectangles sup) Début Initialiser S par 0, initialiser T par 0. Répéter Entrer A et B Jusqu’à ce que A < B Répéter Entrer N Jusqu’à ce que 10 ≤ N et N ≤ 1000 Pour I variant de 0 jusqu’à N-1 Initialiser S par Initialiser T par Fin Pour Afficher S, T Fin
TI-84 - 83 - 82 stat	Casio Graph 35+

Remarques
• Il est tout à fait possible de réaliser d’autres programmes.
• La fonction est définie en Y1 (ou F1). Ne pas oublier de le faire avant de lancer le programme.
• La boucle « répéter… jusqu’à ce que » n’existe pas sur la Graph35+ on utilise alors, avec un petit changement, la boucle « tant que ».
• Il faut bien connaître le mode d’emploi de la Graph35+ pour arriver à entrer le programme dans la machine !
• Toujours pour la Graph35+, on peut trouver curieux de devoir initialiser X à 1. Si ce n’est pas fait, le calcul des valeurs de la fonction est multiplié par la valeur de la variable X qui peut valoir n’importe quoi.

Sur la TI-Nspire CAS, qui est une calculatrice formelle, on profitera des possibilités de la machine pour créer un sous programme (une fonction de calcul) récursif pour le calcul de l’aire et obtenir directement les deux aires (et même la troisième des trapèzes).

TI-Nspire CAS	Commentaires
	Dans une page « Calculs » on appelle le programme (une fois qu’il est écrit).
	Le programme qui initialise la fonction F1, puis demande les différents paramètres. Appel de la fonction récursive, écriture du résultat et son approximation. Pour les rectangles inférieurs et supérieurs, puis les trapèzes. (Ne pas oublier de contrôler la syntaxe par « Ctrl » + « B »)
	La fonction récursive. Il faut les rectangles depuis la hauteur f(a) jusqu’à celle avant f(b) qui est , par pas de . Puis les rectangles depuis la hauteur jusqu’à f(b), par pas de . Appel récursif. (Ne pas oublier de contrôler la syntaxe par « Ctrl » + « B »)

Remarques
• Que peut-on dire de la différence entre A₁ et A₂ lorsque n croit ?

• Un ordre de grandeur de l'erreur commise avec la méthode des rectangles est de

. Le résultat étant visiblement

, si N = 100, l’erreur devrait être d’environ

, soit 0,005.

• Un ordre de grandeur de l'erreur commise avec la méthode des trapèzes est de

. Le résultat étant visiblement

, si N = 100, l’erreur devrait être d’environ

, soit 0,00005.

• Il existe d’autres méthodes d’approximation d’une aire.

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