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Comparaison de suites

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Objectif

Dans le cadre de la résolution de problèmes :
• comparer deux suites géométriques ;
• comparer une suite géométrique et une suite arithmétique.

Dans le cadre de la résolution de problèmes, nous allons comparer des suites. Il ne faudra pas oublier qu'en économie, une année comporte 360 jours.

1. Comparaison de deux suites géométriques

a. Rappel sur les suites géométriques

Définition
La suite U est géométrique de raison q si pour tout entier naturel n on a :

Exemple :
Un capital placé à un taux fixe de t % est multiplié chaque année par

. On a donc un premier exemple de suite géométrique de raison

Propriétés
Pour tout entier naturel n, on a :

.

On a aussi pour tout entier naturel p :

Exemple :
Au 1^er février 2014, le taux du livret A est de 1,25 %.
Si on place un capital de 500 €, au bout de n années, le capital sera de :

b. Comparaison et lien avec la gestion

Taux équivalents
Des taux d'intérêt se rapportant à des périodes différentes sont équivalents si le capital acquis au bout du même temps de placement est identique.

Exemple :
Il est plus avantageux de placer un capital C à un taux mensuel de 0,2 % plutôt qu'à un taux annuel à 2,4 %. En effet, au bout d'un an, le capital C placé à 0,2 % a une valeur acquise de :

; le taux annuel équivalent au taux mensuel de 0,2 % est donc de 2,43 %, ce qui est plus avantageux que 2,4 %.

2. Comparaison d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique

a. Rappel sur les suites arithmétiques

Définition
Une suite U est arithmétique s'il existe une entier r appelé raison tel que pour tout entier naturel n on ait :

Exemple :
On place 500 € à intérêt simple de 2 %. Chaque année l'intérêt sera de

€.
Au bout de n années, la valeur acquise du capital sera de

Propriétés
Pour tout entier naturel n, on a

.
On a aussi pour tout entier naturel p tel que

b. Lien avec la gestion

Taux proportionnels
On dit que des taux sont proportionnels s'ils génèrent des bénéfices proportionnels à la durée de placement.

Exemple :
500 € placés à un taux proportionnel sur 60 jours au taux annuel de 2 % auront acquis la valeur suivante :

€.

c. Comparaison suite arithmétique, suite géométrique

Une banque propose deux placements à ses clients :
• placement 1 : le capital initial C₀ rapportera chaque année un intérêt simple de 8 %.
• placement 2 : le capital initial C₀ rapportera chaque année un intérêt composé de 6 %.

Nous allons comparer ces deux placements, en considérant la valeur acquise du capital initial au bout de n années que l'on notera C_n.
• Placement 1 : cela correspond à une suite arithmétique et nous avons au bout de n années :

.
• Placement 2 : cela correspond à une suite géométrique et nous avons

.

Pour comparer les deux placements nous utilisons un tableur, avec une somme initiale de 1 €.

	1	2	3
1	Nombre d'années	Placement 1	Placement 2
2	0	1	1
3	1	1,08	1,06
4	2	1,16	1,1236
5	3	1,24	1,191016
6	4	1,32	1,26247696
7	5	1,4	1,338225578
8	6	1,48	1,418519112
9	7	1,56	1,503630259
10	8	1,64	1,593848075
11	9	1,72	1,689478959
12	10	1,8	1,790847697
13	11	1,88	1,898298558
14	12	1,96	2,012196472
15	13	2,04	2,13292826
16	14	2,12	2,260903956
17	15	2,2	2,39558193
18	16	2,28	2,540351685
19	17	2,36	2,692772786
20	18	2,44	2,854339153

On voit donc que le placement 2 est plus intéressant que le placement 1 pour une durée supérieure à 13 années.

L'essentiel

Une suite géométrique U de raison q et de premier terme U₀ a pour terme général U_n = U₀ qⁿ.
On utilise les suites géométriques pour les placements à intérêts composés.

Une suite arithmétique U de raison r et de premier terme U₀ a pour terme général U_n = U₀ + nr.
On utilise les suites arithmétiques pour les intérêts simples.

Une année comporte 360 jours pour les économistes.

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