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Coefficients binomiaux, loi de Pascal.

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Découvrir les coefficients binomiaux et leurs propriétés

1. Coefficients binomiaux

a. Cas particuliers

Soit n un entier naturel. Alors (propriétés admises pour n

0) :

: en effet, il n'existe qu'un seul chemin ne conduisant qu'à des échecs (0 succès).

: il n'existe également qu'un seul chemin ne conduisant qu'à des succès (0 échec).

: on dénombre n chemins ne comportant qu'un seul succès.

(avec k entier entre 0 et n).

b. Applications

On sait que

alors

2. Loi et triangle de Pascal

a. La formule (ou loi) de Pascal

Soit k et n deux entiers tels que

.
On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial:

.
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) : l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc

.
(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à

En conclusion, on a la relation dite "de Pascal":

Exemple

. On peut vérifier:

b. Application : le triangle de Pascal

n k	0	1	2	3	4	5
0	1	X	X	X	X	X
1	1	1	X	X	X	X
2	1	2	1	X	X	X
3	1	3	3	1	X	X
4	1	4	6	4	1	X
5	1	5	10	10	5	1

Ce tableau (le triangle de Pascal) se construit à l'aide de la formule de Pascal.
On prend deux cases contigües, on ajoute leurs contenus.
On obtient le contenu de la case en "dessous à droite". Ne pas oublier de partir du triangle de 1.

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