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Cercle trigonométrique- radian

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Objectif

Repérer un point sur le cercle trigonométrique
Découvrir une nouvelle unité : le radian.

1. Cercle trigonométrique

a. Définition

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 sur lequel on a défini un sens positif : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.

b. Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique - rappels

(C) est le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 et (O, I, J) un repère orthonormé du plan. Considérons la droite

tangente au cercle (C) en I et munie du repère (I, K).

Tout point N de la droite

est repéré par un réel x.

Par enroulement de cette droite

autour de (C), chaque point N vient coïncider avec un point M du cercle (C).
On dit que le réel x repère le point M, ou M est associé au réel x.
Étant donné que le cercle a pour circonférence 2π (R = 1), les réels x + 2π , x + 4π, … mais aussi x – 2π, x – 4π repèrent également le point M.

Réciproquement, à tout point M du cercle (C) on peut associer une infinité de réels de la forme x + 2kπ où k

Exemples :
Le point I est repéré par les réels 2kπ, le point J est repéré par les réels

.
Le point I' est repéré par les réels π + 2kπ et le point J' est repéré par les réels

avec

2. Une nouvelle unité de mesure : le radian

a. Définition

Soit (C) le cercle trigonométrique de centre O.

Lorsque l’on parcourt sur (C) un arc de cercle de longueur 1 unité, on ouvre un angle au centre de longueur 1 radian.

Autrement dit, la longueur de l’arc

est égale à la longueur du rayon.

L’unité radian s’écrit de façon abrégée rad.

b. Conversion degré - radian

Lorsque l’on parcourt sur (C) un arc de longueur 1, on ouvre un angle de 1 radian.
Or la longueur parcourue est proportionnelle à la mesure de l’angle ouvert en radian.
Donc en parcourant une distance de π unités sur le cercle, on ouvre un angle de π radians.
Rappelons que la circonférence de (C) est 2π donc en ouvrant un demi-cercle ce qui correspond à un angle de 180°, on ouvre un angle de π radians.

D’où la correspondance : 180° = π rad.
On obtient facilement les correspondances suivantes :

;

c. Exemples de conversion

• Convertir 36° en radian :

Sachant que

alors

.

• Convertir rad en degré :
Comme

alors

L'essentiel

Tout point du cercle est repéré par une infinité de réels de la forme

avec

Nouvelle unité : le radian avec la correspondance 180° = π rad.

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