Calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue

La notion d'aire (ou plus exactement de la mesure de l'aire) d'une partie plane semble être un concept "évident". Or, la définition de cette notion est en fait quelque chose de difficile qui ne peut être rigoureusement établi en classe de lycée.

Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles établies que devaient suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque ().

Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.
Mais ces seules règles ne suffisaient pas pour calculer, par exemple, l'aire d'un disque ou encore l'aire d'une partie plane dont un bord est la courbe d'une fonction.


La partie plane hachurée en rouge, que l'on peut noter P_f, semble avoir une aire, au même sens intuitif que l’aire d’une ligne polygonale fermée. On note A(P_f) cette aire supposée.

On a eu alors l’idée d’encadrer A(P_f) par des aires (réelles) de parties du plan limitées par des lignes polygonales fermées. Voici brièvement la démarche.

Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées s_n et S_n, constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie P_f, la seconde contenant P.

On appelle a_n l'aire de s_n et A_n l'aire de S_n.

Illustration pour n = 4









Bien sûr, on peut augmenter le nombre de rectangles pour obtenir un encadrement plus fin de A(P_f) et même pour obtenir un encadrement aussi fin qu'on le souhaite, autrement dit que la différence (A_n - a_n) peut-être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.

On démontre (et on admet ici) que les suites (a_n) et (A_n) sont respectivement croissante et décroissante et que :

;

autrement dit les suites (A_n) et (a_n) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(P_f).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties s_n et S_n.