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Calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue

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Objectif(s)

Prolonger la définition d'aire d'une surface plane pour les domaines dont un bord est une courbe de fonction continue, non nécessairement positive.

On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).

1. Définitions

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a

b.
Soit f une fonction continue sur [a ; b] de courbe représentative C_f.

Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici P_f, limité par l'axe (OI), la courbe C_f et les droites d'équations x = a et x = b.

On appelle P_f⁺ l'éventuelle partie du domaine P_f située au-dessus de l'axe (OI) et P_f^- l'éventuelle partie de P_f située au-dessous de (O,I).

Autrement dit : P_f⁺ = {M(x; y), a

b et 0

f(x)} ;
P_f^- = {M(x; y), a

b et f(x)

0} ;
et P_f = P_f⁺

P_f^-.

a. Illustrations des trois cas de figures possibles

► Cas 1 (déjà vu) : f est positive, donc P_f = P_f⁺.

► Cas 2 : f est négative, donc P_f = P_f^-.

► Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.

b. Théorème, définition 2 et trois cas

On admet que P_f a une aire.
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note

, le nombre égal à : aire(P_f⁺) - aire (P_f^-).

Reprenons les trois cas de figures :

► Cas 1 : f est positive, donc P_f^- = Ø.

= aire(P_f⁺).

► Cas 2 : f est négative, donc P_f⁺ = Ø.

= - aire(P_f^-).

► Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.

= aire(P_f⁺) - aire(P_f^-).

2. Aire entre deux courbes

a. Théorème admis

Soit (f ; g) un couple de fonctions continues sur un intervalle I de courbes respectives C_f et C_g.
Soit (a ; b) un couple de réels de I vérifiant a

Si f

g sur [a ; b], alors le domaine plan limité par C_f, C_g et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale à :

b. Illustration

Remarque

On vient de définir relativement « rigoureusement » le concept d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

Mais ces définitions dépendent de calculs d’aires, donc hormis pour des fonctions très simples construites à l'aide de fonctions affines, ces calculs sont longs et compliqués, nécessitant l’utilisation de suites et de calculs de limites.

Ensuite on s’est limité au cas où a

b ; qu’en est-il lorsque a > b ?

Il est donc urgent de trouver un moyen simple, rapide et performant pour calculer ces intégrales.

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