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Calcul d'intégrales : définitions et notations

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Objectif(s)

Calculer une intégrale.
Recherche de primitives.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.

Attention
Il faut bien connaître la dérivation et les dérivées pour préparer cette leçon. Revoir et bien connaître le tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée. Il faut avoir vu les fonctions exponentielle et logarithme.

1. Définitions

a. Unités d'aire

Dans un repère orthogonal (O ; I ; J) l’unité d’aire, notée u.a est l’aire du rectangle OIAJ.

Pour le repère ci-dessus (unités en cm), l’unité d’aire est de 3 × 1 = 3 cm².

Si l'on calcule l’aire d’une figure géométrique dans ce repère, le résultat en cm² devra être multiplié par 3.

Remarque
Cette définition est très utilisée pour les différents calculs d’aires qui suivront.

b. Intégrale d'une fonction continue positive

Pour une fonction f continue, positive sur un intervalle I = [a ; b], soit C sa courbe représentative sur I dans un repère orthogonal.
L’intégrale de a à b de la fonction f sur I est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.

On note

et on dira « intégrale de a à b de f » ou « somme de a à b de f ».

Ci-dessus, la fonction définie sur [-1,8 ; 5] par f(x) = x³ - 2x² - 3x + 7 est continue positive.

u.a.

Le repère est orthonormal (ou orthonormé) gradué en cm. L’unité d’aire vaut 1 cm².
L’aire sous la courbe entre -1,8 et 3 est donc environ 20,11 cm².

2. Propriétés et théorème

• L’intégrale d’une fonction positive entre a et b, avec a ≤ b est positive (puisque c’est une aire).
• Relation de Chasles
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c on a :

.
•

Théorème

Pour une fonction f continue, positive sur un intervalle I = [a ; b], la fonction F définie par :

est dérivable sur I de dérivée f, est l'unique primitive de f s'annulant en a.

On a donc :

3. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

a. Définition

Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], une primitive de F dérivable sur I est une fonction dont la dérivée est égale à f.

Par exemple, soit f(x) = 6x - 2 définie continue sur

.
F : → 3x² - 2x + 1 est définie sur

est une primitive de f sur I (il suffit de dériver).
On peut remarquer que F : → 3x² - 2x + 1 est aussi une primitive de f sur I.

b. Propriétés

• Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme G(x) = F(x) + k où k est un réel.

Par exemple, nous avons vu que f(x) = 6x - 2 a pour primitive F(x) = 3x² - 2x - 1 ou F(x) + 2 = 3x² - 2x + 1.
Ajouter n’importe quel nombre réel à F(x) donne toujours une primitive de f.

• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], il existe une unique primitive de f sur I prenant la valeur y₀ (un réel) pour x₀ (un réel de I).

Par exemple, sur I = ]-1 ; +∞[, la fonction

n’admet qu’une seule primitive qui vaut 3 pour x₀ = 1, c’est

(vérifier en dérivant F que c’est bien une primitive de f, puis calculer F(1)).

• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], et F l’une de ses primitives, on a :

• Pour toute fonction continue (pas forcément positive) sur I = [a ; b], on a

• Si F et G sont des primitives de f et g, alors F + G est une primitive de f + g.

• Si F est une primitive de f sur I alors pour tout réel k, kF est une primitive de kf sur I.

4. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

Soir c un réel (une constante).
Ce tableau permet de déterminer une primitive des fonctions usuelles.

Fonction	Fonction primitive	Intervalle de définition
f(x) = k (k un réel, une constante)
f(x) = x
f(x) = x²
f(x) = xⁿ pour n entier relatif avec n ≠ -1 et n ≠ 0.		si 1 ≤ n ou]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ si n ≤ -2.
f(x) = e^x	que l’on écrit aussi

Il faut connaître aussi :

• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de

est e^u .

• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de

est ln(u) et u strictement positive sur l'intervalle I.

Remarque : si u(x) < 0 sur I alors 0 < - u(x). Une primitive de

est alors ln(-u).

5. Applications du calcul intégral

a. Aire du domaine compris entre deux courbes

Pour f et g deux fonctions définies, continues et positives sur un intervalle avec sur cet intervalle f ≤ g, l’aire A comprise entre la courbe C_f représentative de f et C_g celle de g, et les verticales des abscisses a et b, est donnée par :

Ci-dessus, soit f(x) = x² et g(x) = x³ - 2x² - 3x + 7, a = -1,6 et b = 1,34 (ce sont approximativement les abscisses des points d’intersection des deux courbes).

Calcul de l’aire comprise entre les courbes C_f et C_g. Cette valeur se calcule en recherchant une primitive de la fonction

.

Par exemple,

est une primitive de f - g (utiliser le tableau pour obtenir cette primitive).

Remarque
Pour le calcul d’aire, il n’est pas nécessaire d’ajouter la constante.
Il suffit alors de calculer F(1,34) - F(-1,6) (utiliser une calculatrice).
On trouve approximativement A = 14,39 cm² (le repère est orthonormal, l’unité d’aire vaut 1 cm²).

b. Valeur moyenne

Pour f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle I = [a ; b], la valeur moyenne de f sur I est le nombre :

Ci-dessus, l’aire sous la courbe entre a = -1 et b = 3 vaut exactement

soit environ 17,33.
On peut interpréter la valeur moyenne entre a et b comme l’aire donnée par une fonction constante pour la même valeur.

Cette valeur moyenne correspond à un rectangle de même aire que l’aire sous la courbe.

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