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Bissectrices et cercle inscrit dans un triangle

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Objectifs

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est l’unique point à égale distance de trois autres points. Mais quel est le point à égale distance de trois droites sécantes qui forment le triangle ?
Qu’est ce que la bissectrice d’un angle ? Comment tracer le cercle inscrit à un triangle ?

1. Bissectrice d'un angle

La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles égaux.

donc (Ay) est la bissectrice de l’angle

Remarque : la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie pour cet angle.
B et B’ sont symétriques par rapport à la bissectrice (Ay)

Propriété : Si un point M appartient à la bissectrice d’un angle, alors M est à égale distance des côtés de cet angle.

On a MH = MH’

Réciproquement : Si un point M est à égale distance des côtés d’un angle alors M appartient à la bissectrice de cet angle.

Remarque : De la propriété précédente, on en déduit que la bissectrice d’un angle est l’ensemble des points à égale distance de ses côtés.

2. Cercle inscrit

Propriété : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours I est à égale distance d des trois côtés du triangle.

Le cercle de centre I et de rayon d est appelé cercle inscrit au triangle.

Conséquence : les côtés du triangle sont tangents au cercle inscrit.

I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Remarque: Pour obtenir le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer deux bissectrices du triangle (il n’est pas nécessaire de tracer la 3ème bissectrice : les 2 premières détermineront le point d’intersection)

Cette propriété permet de tracer facilement le cercle inscrit à un triangle :

1^ère étape : on trace 2 bissectrices dans le triangle ABC. Leur point d’intersection est le point I.

2^ème étape : on trace la perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par I. Elle coupe ce côté en H :

3^ème étape : on trace le cercle de centre I et de rayon IH, c’est-à-dire le cercle inscrit au triangle ABC.

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