Bases et repères de l'espace
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Reconnaitre une base de l’espace.
- Décomposer un vecteur dans une base de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace.
- Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l’espace est constitué d’un point et d’une base de l’espace.
- La somme des vecteurs
et 
est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de 
et 
: 
.
- Soit k un
réel quelconque. Le produit
de k par
un vecteur donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des coordonnées
de par k :
.
- Deux vecteurs et sont colinéaires s'il
existe un réel k tel que = k ce qui implique que :
.
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB),
alors le vecteur
a pour coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB)
alors le point M, milieu du segment [AB], a pour
coordonnées :
.
- Connaitre la notion de colinéarité de deux vecteurs.
- Connaitre la notion de vecteurs coplanaires.
, 
et 
sont trois vecteurs non
coplanaires, alors ils constituent une base de
l’espace.
On note cette base 
.
une base de l’espace,
alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un
unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que
.Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé
en fonction de , et .
On considère la base
avec (1 ; 0 ; 0),
(0 ; 1 ; 0)
et (0 ; 0 ; 1).
Le vecteur (2 ; 3 ; 5)
se décompose en 
.
Dans l’espace muni de la base on considère les
vecteurs et .
La somme des vecteurs
et est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de et 
:
Si
(1 ; 2 ; 3)
et (2 ; 1 ;
–1), alors +
(3 ; 3 ; 2).
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur
donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des
coordonnées de par k :
Si
(2 ; –1 ;
–2) et k = 3, alors 
.
et sont colinéaires
s'il existe un réel k tel que 
ce qui implique que :
Soit
(2 ; 4 ; 6)
et (6 ; 12 ; 18). On a
= 3, donc et sont colinéaires.
Si à une base
de l'espace on associe un
point O, alors
on obtient un repère 
.
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère
, à tout
point M on
peut associer un vecteur 
décomposé de la
façon suivante : 
.(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur
mais aussi à celles du
point M(x ; y ; z)
dans le repère :
- la première coordonnée (x) correspond à l'abscisse ;
- la deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée ;
- la troisième coordonnée (z) correspond à la côte.
Un repère est orthonormé
si
, 
et 
Soit un cube muni du repère orthonormé
.
On a 
, donc (1 ; 1 ; 0) et M(1 ; 1 ; 0).
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur
a pour
coordonnées : (xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :
.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Coordonnées dans une base et applications
Mathématiques
Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes
Mathématiques
Les limites de fonctions usuelles
Mathématiques
La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f
Mathématiques
L'intégration par parties
Mathématiques
Droites de l'espace : vecteurs directeurs d'une droite, vecteurs colinéaires
Mathématiques
La caractérisation d'un plan
Mathématiques
Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur
Mathématiques
Le produit scalaire dans le plan
Mathématiques
Le produit scalaire dans l'espace
Fermer
Accédez gratuitement à
