Appliquer une formule

Lorsqu'on doit appliquer une formule à une variable pour calculer une quantité, il suffit de remplacer la variable par la valeur proposée, autant de fois que nécessaire.
Dans les cas particuliers d'évolutions en pourcentage, il faut savoir traduire correctement le pourcentage.

Exemple 1
Pour calculer les images de 1, 2 et 3 par la fonction f définie par   :
On remplace d’abord x par 1 à chaque endroit où x intervient dans la formule :
 
On recommence l'opération en remplaçant x par 2, puis par 3 :

Exemple 2
Pour augmenter de t % une quantité, on la multiplie par .

Un commerçant voit son chiffre d'affaires de 40 000€ augmenter de 10% la 1ère année, puis de 20% l'année suivante, et de 5% la troisième année.
Quelle a été l'augmentation, en pourcentage, de son chiffre d'affaires sur 3 ans ?
On calcule d'abord les chiffres d'affaires successifs :
40 000 ×  = 40 000 × 1,1 = 44 000

44 000 ×  = 44 000 × 1,2 = 52 800

52 800 ×  = 52 800 × 1,05 = 55 440

On réutilise la formule pour calculer le pourcentage d'augmentation global :
40 000 ×  = 55 440 d'où  soit  = 1,386 d'où  = 0,386 et t = 38,6.

En 3 ans, son chiffre d'affaires a augmenté de 38,6%.

Lorsqu'on doit appliquer une formule à plusieurs variables pour calculer une quantité, il suffit de remplacer chaque variable par sa valeur, à chaque endroit où elle intervient.

Exemple 2
Calculer le coefficient directeur de (AB) avec A(2;5) et B(4;1).
Le coefficient directeur a de la droite (AB) est donné par la formule a = .
On remplace donc y_B par 1, y_A par 5, x_B par 4, x_A par 2 : a = , d'où a = –2.

Une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀ est définie par récurrence par la formule u_n+1 = u_n + r et son terme général vérifie la relation u_n = u₀ + nr.
Une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀ est définie par récurrence par la formule u_n+1 = qu_n et son terme général vérifie la relation u_n = u₀qⁿ.
Dans ce type de formule, les variables sont u₀, q, r et n. La lettre u n'a pas à être remplacée, elle sert à nommer la suite.
En fonction de l'énoncé, on utilise l'une des formules en remplaçant u₀, q, r par les valeurs indiquées. n désigne le rang du terme demandé dans la suite.

Pour calculer la dérivée d'une fonction, on peut être amené à décomposer la fonction en produit ou quotient de fonctions plus élémentaires, dont on connaît les dérivées.

Pour cela on utilise :

• la formule (kf)' = k × f ' si k est un nombre réel.
• la formule donnant la dérivée de x → xⁿ (avec n entier et n ≥ 3) : la dérivée est x → nxⁿ⁻¹.
• le fait que la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle : x → 0.

Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui, à chaque issue, associe k succès est :
p(X = k) =   p^k(1 − p)^n−k avec 0 ≤ k ≤ n.

On nomme le premier nombre de l'égalité ci-dessus « coefficient binomial », on le note , ce qui se lit : « k parmi n », et correspond au nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n. Les coefficients binomiaux possèdent des formules particulières :  = ,  = 1,  = n, = 1 et  +  = .

Exemple 1
Prouver que  +  = .

Une première manière consiste à utiliser la formule  +  =  en choisissant n = 10 et k = 9 et le résultat est immédiat.

Une deuxième manière consiste à calculer directement :  =  car  =  et  = 10 car  = n.

De même  =  car  =  et  = 1.
Ainsi  +  = 10 + 1 = 11.

Par ailleurs  =  car  =  et  = 11 car  = n.
On a donc bien  +  =  = 11

Exemple 2
On lance une pièce non truquée 4 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois « Face » ?
On utilise p(X = k) =  p^k(1 − p)^n–k avec n = 4, k = 3, p = 0,5.
On trouve :
p(X = 3) =  0,5³(1 − 0,5)⁴⁻³ 
p(X=3) = 4 × 0,5⁴ = 0,25 car  = 4.