Fiche de cours

Application du produit scalaire au calcul d'angles et de longueurs

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Objectif

Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment.

1. Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé

a. Principe

A, B, C sont 3 points repérés par leurs coordonnées dans repère orthonormé

.
Exprimons le produit scalaire

de deux façons différentes :

d’une part,

d’autre part.

Ainsi, on peut en conclure que

,

ce qui permet dévaluer une mesure de l’angle

.

Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.

b. Application

Soit

.
Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.

D’après ce que l’on a vu ci-dessus,

.

Or

soit

.

Ainsi,

En injectant ces données dans la formule, on obtient :

A l’aide de la calculatrice (

), on obtient

au degré près.

Pour déterminer une mesure de l‘angle

, on utilise la même démarche et on obtient :

Ainsi,

d'où

au degré près.

On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et

au degré près.

2. Théorème d'Al Kashi

a. Théorème

ABC est un triangle où l’on adopte les notations suivantes :

ce qui s’écrit à l’aide des notations ci-dessus :

Par permutation circulaire, on a également

Ces formules permettent de déterminer une mesure des angles du triangle connaissant les longueurs des 3, ou déterminer la longueur du 3^e coté connaissant 2 cotés et l’angle encadré par ces 2 cotés.
On remarquera qu’elles généralisent le théorème de Pythagore.

b. Exemple d'application

Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et

. Déterminer la longueur du coté BC.

On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser

.
Ainsi,

3. Théorème de la médiane

On considère un segment

de milieu I .
Alors pour tout point M du plan,

Cette relation permet notamment lorsque l’on connaît la longueur des 3 cotés d’un triangle, de déterminer la longueur de la médiane

Preuve :

Exemple d’utilisation : Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane

.
D’après la relation précédente,

soit

L'essentiel

Le théorème d’Al Kashi et le théorème de la médiane permettent de déterminer les angles, la longueur d’un coté ou la longueur d’une médiane dans un triangle donné.

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