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Angles inscrits et angles au centre

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Objectifs

Les mesures des angles inscrits et des angles au centre qui interceptent un même arc de cercle sont liés entre eux par des relations permettant de calculer les uns connaissant les autres.
Qu’est-ce qu’un angle inscrit et au centre ? Quelles sont les relations entre les angles inscrits et au centre interceptant un même arc de cercle ?

1. Définitions

a. Angle inscrit

Soit 3 points distincts D, E et F appartenant à un cercle (C).
On dit que l’angle

est un angle inscrit dans le cercle (C).
L’arc de cercle compris entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc de cercle intercepté.

L’angle

est un angle inscrit dans le cercle.
L’arc de cercle rouge est l’arc de cercle intercepté.
On dit aussi que l’angle inscrit

intercepte l’arc de cercle DF.

b. Angle au centre

Soit un cercle (C) de centre O et A, B deux points distincts du cercle.
On dit que l’angle est un angle au centre.

L’angle

est un angle au centre. Il intercepte l’arc de cercle rouge.

2. Propriétés des angles inscrits et des angles au centre

a. Relation entre angle inscrit et angle au centre

Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit.

Le cercle ci-contre a pour centre O. L’angle

est un angle au centre et l’angle

est un angle inscrit au cercle.
De plus, ces deux angles interceptent le même arc de cercle rouge.
Donc

.

Exemple
Avec les notations précédentes, si

alors

b. Relation entre angles inscrits

Si deux angles inscrits d’un même cercle interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure.

Les angles

sont deux angles inscrits du même cercle de centre O. De plus, ils interceptent le même arc de cercle rouge.
Donc ils sont égaux :

.

Explication
Les angles

interceptent le même arc de cercle rouge que l’angle au centre

.
Donc

.

Exemple
Avec les notations précédentes si

, alors

c. Cas particulier : Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Soit A et B deux points distincts.
Si un point M, distinct de A et B, appartient au cercle de diamètre [AB], alors l’angle est un angle droit.

Illustration
On utilise les angles inscrits et au centre.
L’angle

est un angle au centre interceptant l’arc de cercle rouge.
De plus, c’est un angle plat donc il mesure 180°.
L’angle

est un angle inscrit interceptant l’arc de cercle rouge.
Les angles

interceptent le même arc de cercle, donc

.
On a ainsi montré le lien entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit.

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